Persamaan Kuadrat - Session III

Memfaktorkan Dengan Cara III

Nah, kita telah sampai kepada pelajaran yang terakhir mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, yakni cara III. Cara ketiga ini disebut juga cara distributif, dimana menggunakan sifat-sifat distributif pada perkalian dan penjumlahan, tentu masih ingat kan.

Adapun cara yang ketiga (cara III) ini memiliki fungsi yang sama dengan cara yang kedua (cara II), yaitu paling baik digunakan jika bentuk persamaan itu adalah :

ax² + bx + c = 0, dimana nilai a (koefisien x²) tidak sama dengan 1.

Contoh persamaan :

1. 2x² + 7x + 3 = 0, (disini nilai a adalah 2, yaitu pada 2x²)


2. 3x² + 7x - 6 = 0, (nilai a adalah 3)


3. 8x² + 10x - 3 = 0, (nilai a adalah 8)

Untuk mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan cara III ini, langsung saja kita pada contoh soal, dimana kita ambil persamaan pada contoh no. 1, yaitu :

2x² + 7x + 3 = 0

(langkah 1) : Carilah dua buah bilangan yang jika dikalikan hasilnya = a x c yaitu 2 x 3 = 6, dan jika dijumlahkan hasilnya adalah b, yaitu 7 (positif 7). Tentunya bilangan itu adalah 6 dan 1, karena:
ac = 6 x 1 = 6, dan
b = 6 + 1 = 7.

(langkah 2) : Tuliskan kedua bilangan itu untuk menggantikan suku bx dari persamaan kuadrat pada soal, masing-masing diisi dengan variabel x, seperti berikut ini:

2x² + 6x + 1x + 3 = 0

Yang diberi garis bawah maksudnya adalah sama dengan bx (coba saja jumlahkan yang diberi garis bawah itu). Untuk selanjutnya, 1x boleh ditulis x saja. Sehingga persamaan menjadi:

2x² + 6x + x + 3 = 0

(langkah 3) : Kelompokkan masing-masing dua suku kedalam tanda kurung, seperti berikut ini :

(2x² + 6x) + (1x + 3) = 0

(langkah 4) : Carilah faktor distribusi atau faktor persekutuan dari dua suku dalam kurung masing-masing, jika ada, seperti berikut ini :

2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0 (faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang pertama yaitu 2x, dan faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang ke dua yaitu 1.

(langkah 5) : Kelompokkan lagi faktor-faktor persekutuan itu menjadi satu dalam tanda kurung (yakni yang diberi tanda huruf tebal), dan pilih satu saja dalam kurung yang sama, seperti berikut ini :

(2x + 1)(x + 3) = 0  [tulis satu saja (x + 3) karena sudah sama]

(langkah 6) : Selesaikan masing-masing bilangan dalam tanda kurung seperti biasa disamakan dengan nol, seperti berikut ini :

(2x + 1) = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
X = - ½ (dapat x₁ = - ½)

(x + 3) = 0
x + 3 = 0
x = -3 (dapat x₂ = -3)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP = { -3 , - ½ }

Gampang bukan.
Yang paling penting diingat adalah cara III hampir sama dengan cara II, yakni selalu didahului dengan mencari dua buah bilangan yang jika dikali hasilnya sama dengan ac.

Apa itu ac? ac yaitu a dikali c = a x c = ac.
Dimana dapat a dan c? Ya dari persamaan kuadrat bentuk ax² + bx + c = 0, dimana a itu adalah koefisien dari suku x², dan c adalah bilangan tanpa variabel atau biasa disebut konstanta.

Sudah paham bukan. Boleh dicoba untuk persamaan yang nomor 2 dan 3 diatas untuk latihan. Selamat mencoba. Ingat “practice makes perfect”.

Persamaan Kuadrat - Session II

Memfaktorkan Dengan Cara II
Nah, jika sudah selesai mencoba kelima persamaan kuadrat yang telah diberikan pada pelajaran sebelumnya, sekarang kita lanjutkan saja pada pelajaran memfaktorkan dengan cara yang kedua.

Cara II
Cara yang kedua ini, dipakai jika persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 itu memiliki nilai a yang tidak sama dengan 1. Misalkan memiliki bentuk-bentuk seperti berikut ini :

1. 5x² + 8x - 4 = 0


2. 12x² - 20x + 3 = 0


3. 6x² + 11x + 3 = 0

Nah, bisa dilihat kan, kalau nilai a pada persamaan kuadrat no. 1 adalah 5, nilai a pada persamaan no. 2 adalah 12, dan yang no. 3 adalah 6.

Untuk itu, cara II ini akan sangat ampuh untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat itu. Bagaimana kalau kita langsung saja menyelesaikan dengan contoh berikut ini, dimana kita coba contoh persamaan yang no. 1:

(langkah 1) : Seperti biasa, tulis persamaan itu:

5x² + 8x - 4 = 0

(langkah 2) : Tuliskan dua buah tanda kurung, yang masing-masing tanda kurung diisi dengan suku kuadrat (ax²) dari persamaan kuadrat itu tanpa menulis pangkatnya. Untuk lebih jelas, seperti berikut ini:

(5x      )(5x      ) = 0

(langkah 3) : Beri garis bagi dibawah dua tanda kurung itu dan tuliskan nilai a (koefisien dari x²) dibawah garis itu, yang dalam hal ini nilai a adalah 5, seperti berikut ini:

(5x      )(5x      ) = 0
          5

Garis bagi itu berarti dia akan membagi masing-masing suku dalam tanda kurung.

(langkah 4) : Pikirkan dua bilangan, yang jika dikali hasilnya = ac = a dikali c = 5 x (-4) = -20.

Tentu sudah tahu kan, yang mana a dan yang mana c. Kalau lupa, ingat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax² + bx + c = 0. Nah, kalau persamaannya adalah 5x² + 8x - 4 = 0, maka a=5, b=8, dan c=-4. Gampang khan.

Lalu bilangan apa sih yang jika dikali hasilnya -20 (negatif 20) dan jika dijumlah hasilnya 8 (positif 8). Mungkin kalian akan mendapatkan -20 dan 1, atau 20 dan -1, atau -4 dan 5, atau 4 dan -5, atau juga -2 dan 10, atau 2 dan -10. Sebab jika masing-masing dua bilangan itu dikali, hasilnya adalah -20. Tapi yang jika dijumlah hasilnya adalah 8 (positif 8), maka yang paling tepat adalah -2 dan 10. Benar kan.

Buktikan, yaitu :
-2 X 10 = -20
-2 + 10 = 8    (terbukti).

(langkah 5) : Masukkan dua bilangan itu kedalam tanda kurung tadi, seperti berikut ini :

(5x - 2)(5x + 10) = 0
           5

(langkah 6) : Samakan tiap bilangan dalam tanda kurung beserta pembaginya dengan 0 (nol), seperti berikut ini:

(5x - 2) = 0
      5

5x - 2 = 0 sama-sama dibagi lima, maka menjadi :
     5

5x - 2 = 0
5     5

x - 2 = 0 pindahkan -2/5 keruas kanan, menjadi :
     5

x = 2/5 (pindah ruas, maka tanda negatif menjadi positif)

Jadi kita dapatkan x₁ = 2/5 (dua per lima)

Lanjutkan dengan tanda kurung yang lagi satu, yaitu :

(5x + 10) = 0
      5

5x + 10 = 0 sama-sama dibagi lima menjadi:
     5

5x + 10 = 0
5       5

x + 2 = 0

x = -2 (seperti biasa pindah ruas berubah tanda)

Jadi, kita dapatkan akar yang kedua, yaitu x₂ = -2 (negatif 2)).

Adapun himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 5x² + 8x - 4 = 0 adalah HP = {2,5 dan -2}.

Atau dengan kata lain, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat 5x² + 8x - 4 = 0 adalah x₁ = 2/5 dan x₂ = -2.

Silahkan lihat ringkasan Cara II dalam gambar berikut:


Selesai, untuk cara II. Selanjutnya silahkan dicoba mencari akar-akar untuk persamaan kuadrat yang no. 2 dan no. 3, seperti contoh. Gampang sekali, tinggal diikuti langkah-langkah itu, perlahan-lahan dahulu agar semakin mengerti.

Untuk melanjutkan pelajaran mengenai memfaktorkan persamaan kuadrat dengan cara yang ke-3 / Cara III, klik disini.

Sifat Logaritma

Dari, sekian banyak sifat logaritma, kali ini akan dibahas sifat logaritma yang sering keluar dalam soal, baik pada ujian sekolah maupun ujian nasional dan ujian masuk perguruan tinggi. Langsung saja kita lihat kembali bentuk umum logaritma, yaitu:

Jika sudah ingat kembali bentuk umumnya, sekarang kita lanjutkan dengan sifat logaritma yang ke-8, yaitu dengan bentuk sebagai berikut :

Penjelasan singkat :
bentuk seperti a log b, dapat diubah menjadi b log a, dengan jalan menjadi 1 per. Fungsinya adalah ketika dalam suatu soal yang diketahui adalah hasil dari b log a, maka bentuk a log b diubah menjadi seper b log a, sesuai sifat logaritma ini.

Contoh penggunaannya dalam soal :

Contoh 1:

Jika diketahui nilai dari ^blog a = 3, hitunglah nilai dari ^alog b :

Jawab :
Sesuai dengan sifat yang tadi, maka :
Gampang khan! Mari lanjutkan dengan contoh berikut.

Contoh 2:

Diketahui, nilai dari ⁵log 7 = a, ⁵log 8 = c. Hitunglah nilai dari ⁷log 5 x ⁸log 5 !

Jawab :

Karena yang dicari adalah ⁷log 5 dan ⁸log 5, maka ubah bentuk ⁵log 7 = a dan ⁵log 8 menjadi bentuk yang dicari yaitu :

Sehingga, jika diselesaikan menjadi :

Sampai disini, kalian sudah mampu mengerjakan soal yang diberikan. Untuk selnjutnya pembahasan soal campuran dari sifat-sifat logaritma akan di bahas pada posting berikutnya. Selamat berlatih !

Logaritma Kelas 10

Nah, pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan sifat logaritma yang pertama, dari lebih kurang sembilan sifat yang ada. Sebelumnya mari kita lihat dulu bentuk umum untuk logaritma, yaitu:

dimana :
a = bilangan pokok atau basis dari logaritma,
y = numerus.


Sekarang, mari kita mulai dengan sifat yang pertama ( I )

ingat :
a > 0, b > 0, c > 0, dan
a tidak sama dengan 1

Contoh penggunaannya di dalam soal :

Nah gampang bukan...
Untuk membuktikan sifat itu benar, maka harus dicari hasil logaritma masing-masing ruas, yaitu ruas kiri dan ruas kanan. Dimana ruas pada kiri dicari hasil logaritma 16 dan pada ruas kanan dicari hasil logartima 4, sebagai berikut:

Jadi, sekarang kita telah menguasai sifat trigonometri yang pertama. Untuk sifat selanjutnya akan saya bahas pada posting berikutnya. Selamat belajar... !!