Pages

Tampilkan postingan dengan label Matematika Kelas 10. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Matematika Kelas 10. Tampilkan semua postingan

Persamaan Kuadrat - Session III

Memfaktorkan Dengan Cara III

Nah, kita telah sampai kepada pelajaran yang terakhir mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, yakni cara III. Cara ketiga ini disebut juga cara distributif, dimana menggunakan sifat-sifat distributif pada perkalian dan penjumlahan, tentu masih ingat kan.

Adapun cara yang ketiga (cara III) ini memiliki fungsi yang sama dengan cara yang kedua (cara II), yaitu paling baik digunakan jika bentuk persamaan itu adalah :

ax2 + bx + c = 0, dimana nilai a (koefisien x2) tidak sama dengan 1.

Contoh persamaan :

  1. 2x2 + 7x + 3 = 0, (disini nilai a adalah 2, yaitu pada 2x2)

  2. 3x2 + 7x - 6 = 0, (nilai a adalah 3)

  3. 8x2 + 10x - 3 = 0, (nilai a adalah 8)


Untuk mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan cara III ini, langsung saja kita pada contoh soal, dimana kita ambil persamaan pada contoh no. 1, yaitu :

2x2 + 7x + 3 = 0

(langkah 1) : Carilah dua buah bilangan yang jika dikalikan hasilnya = a x c yaitu 2 x 3 = 6, dan jika dijumlahkan hasilnya adalah b, yaitu 7 (positif 7). Tentunya bilangan itu adalah 6 dan 1, karena:
ac = 6 x 1 = 6, dan
b = 6 + 1 = 7.

(langkah 2) : Tuliskan kedua bilangan itu untuk menggantikan suku bx dari persamaan kuadrat pada soal, masing-masing diisi dengan variabel x, seperti berikut ini:

2x2 + 6x + 1x + 3 = 0

Yang diberi garis bawah maksudnya adalah sama dengan bx (coba saja jumlahkan yang diberi garis bawah itu). Untuk selanjutnya, 1x boleh ditulis x saja. Sehingga persamaan menjadi:

2x2 + 6x + x + 3 = 0

(langkah 3) : Kelompokkan masing-masing dua suku kedalam tanda kurung, seperti berikut ini :

(2x2 + 6x) + (1x + 3) = 0

(langkah 4) : Carilah faktor distribusi atau faktor persekutuan dari dua suku dalam kurung masing-masing, jika ada, seperti berikut ini :

2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0 (faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang pertama yaitu 2x, dan faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang ke dua yaitu 1.

(langkah 5) : Kelompokkan lagi faktor-faktor persekutuan itu menjadi satu dalam tanda kurung (yakni yang diberi tanda huruf tebal), dan pilih satu saja dalam kurung yang sama, seperti berikut ini :

(2x + 1)(x + 3) = 0  [tulis satu saja (x + 3) karena sudah sama]

(langkah 6) : Selesaikan masing-masing bilangan dalam tanda kurung seperti biasa disamakan dengan nol, seperti berikut ini :

(2x + 1) = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
X = - ½ (dapat x1 = - ½)

(x + 3) = 0
x + 3 = 0
x = -3 (dapat x2 = -3)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP = { -3 , - ½ }

Gampang bukan.
Yang paling penting diingat adalah cara III hampir sama dengan cara II, yakni selalu didahului dengan mencari dua buah bilangan yang jika dikali hasilnya sama dengan ac.

Apa itu ac? ac yaitu a dikali c = a x c = ac.
Dimana dapat a dan c? Ya dari persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c = 0, dimana a itu adalah koefisien dari suku x2, dan c adalah bilangan tanpa variabel atau biasa disebut konstanta.

Sudah paham bukan. Boleh dicoba untuk persamaan yang nomor 2 dan 3 diatas untuk latihan. Selamat mencoba. Ingat “practice makes perfect”.

Persamaan Kuadrat - Session II

Memfaktorkan Dengan Cara II
Nah, jika sudah selesai mencoba kelima persamaan kuadrat yang telah diberikan pada pelajaran sebelumnya, sekarang kita lanjutkan saja pada pelajaran memfaktorkan dengan cara yang kedua.

Cara II
Cara yang kedua ini, dipakai jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 itu memiliki nilai a yang tidak sama dengan 1. Misalkan memiliki bentuk-bentuk seperti berikut ini :

  1. 5x2 + 8x - 4 = 0

  2. 12x2 - 20x + 3 = 0

  3. 6x2 + 11x + 3 = 0


Nah, bisa dilihat kan, kalau nilai a pada persamaan kuadrat no. 1 adalah 5, nilai a pada persamaan no. 2 adalah 12, dan yang no. 3 adalah 6.

Untuk itu, cara II ini akan sangat ampuh untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat itu. Bagaimana kalau kita langsung saja menyelesaikan dengan contoh berikut ini, dimana kita coba contoh persamaan yang no. 1:

(langkah 1) : Seperti biasa, tulis persamaan itu:

5x2 + 8x - 4 = 0

(langkah 2) : Tuliskan dua buah tanda kurung, yang masing-masing tanda kurung diisi dengan suku kuadrat (ax2) dari persamaan kuadrat itu tanpa menulis pangkatnya. Untuk lebih jelas, seperti berikut ini:

(5x      )(5x      ) = 0

(langkah 3) : Beri garis bagi dibawah dua tanda kurung itu dan tuliskan nilai a (koefisien dari x2) dibawah garis itu, yang dalam hal ini nilai a adalah 5, seperti berikut ini:

(5x      )(5x      ) = 0
          5

Garis bagi itu berarti dia akan membagi masing-masing suku dalam tanda kurung.

(langkah 4) : Pikirkan dua bilangan, yang jika dikali hasilnya = ac = a dikali c = 5 x (-4) = -20.

Tentu sudah tahu kan, yang mana a dan yang mana c. Kalau lupa, ingat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0. Nah, kalau persamaannya adalah 5x2 + 8x - 4 = 0, maka a=5, b=8, dan c=-4. Gampang khan.

Lalu bilangan apa sih yang jika dikali hasilnya -20 (negatif 20) dan jika dijumlah hasilnya 8 (positif 8). Mungkin kalian akan mendapatkan -20 dan 1, atau 20 dan -1, atau -4 dan 5, atau 4 dan -5, atau juga -2 dan 10, atau 2 dan -10. Sebab jika masing-masing dua bilangan itu dikali, hasilnya adalah -20. Tapi yang jika dijumlah hasilnya adalah 8 (positif 8), maka yang paling tepat adalah -2 dan 10. Benar kan.

Buktikan, yaitu :
-2 X 10 = -20
-2 + 10 = 8    (terbukti).

(langkah 5) : Masukkan dua bilangan itu kedalam tanda kurung tadi, seperti berikut ini :

(5x - 2)(5x + 10) = 0
           5

(langkah 6) : Samakan tiap bilangan dalam tanda kurung beserta pembaginya dengan 0 (nol), seperti berikut ini:

(5x - 2) = 0
      5

5x - 2 = 0 sama-sama dibagi lima, maka menjadi :
     5

5x - 2 = 0
5     5

x - 2 = 0 pindahkan -2/5 keruas kanan, menjadi :
     5

x = 2/5 (pindah ruas, maka tanda negatif menjadi positif)

Jadi kita dapatkan x1 = 2/5 (dua per lima)

Lanjutkan dengan tanda kurung yang lagi satu, yaitu :

(5x + 10) = 0
      5

5x + 10 = 0 sama-sama dibagi lima menjadi:
     5

5x + 10 = 0
5       5

x + 2 = 0

x = -2 (seperti biasa pindah ruas berubah tanda)

Jadi, kita dapatkan akar yang kedua, yaitu x2 = -2 (negatif 2)).

Adapun himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 5x2 + 8x - 4 = 0 adalah HP = {2,5 dan -2}.

Atau dengan kata lain, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat 5x2 + 8x - 4 = 0 adalah x1 = 2/5 dan x2 = -2.

Silahkan lihat ringkasan Cara II dalam gambar berikut:


Selesai, untuk cara II. Selanjutnya silahkan dicoba mencari akar-akar untuk persamaan kuadrat yang no. 2 dan no. 3, seperti contoh. Gampang sekali, tinggal diikuti langkah-langkah itu, perlahan-lahan dahulu agar semakin mengerti.

Untuk melanjutkan pelajaran mengenai memfaktorkan persamaan kuadrat dengan cara yang ke-3 / Cara III, klik disini.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat itu adalah persamaan yang memiliki variabel yang berpangkat dua. Biasanya yang berpangkat dua itu adalah x. Sehingga bentuk umum persamaan kuadrat adalah :

ax2 + bx + c = 0.

dengan syarat: a tidak sama dengan nol, dan a, b, dan c adalah elemen himpunan bilangan Real.

Kenapa disebut persamaan, karena ada tanda sama dengan '=' itu. Jadi kalau tandanya tidak '=' seperti tanda 'kurang dari' < atau 'lebih dari' >, itu akan disebut sebagai pertidaksamaan.

Persamaan kuadrat itu memiliki penyelesaian yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat, yang biasanya ada dua yaitu x1 dan x2. Disebut penyelesaian karena jika nilai dari salah satu penyelesaian itu dimasukkan pada variabel x pada persamaan akan menghasilkan nilai nol. Sehingga akar-akar persamaan kuadrat juga disebut faktor pembuat nol.

Adapun cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu :
  1. Memfaktorkan
    • cara I
    • cara II
    • cara III
  2. Melengkaptkan Kuadrat Sempurna
  3. Menggunakan Rumus ABC

Yang kalau diringkas bisa disebut 3M. Wah seperti memberantas sarang nyamuk saja, hehe. Yuk sekarang coba kita bahas satu persatu.

  • Memfaktorkan
    1. Cara I
    2. Cara yang pertama ini paling tepat digunakan jika nilai a pada variabel x2 dari persamaan ax2 + bx + c = 0 adalah 1 (satu). Atau secara lebih mudah yaitu x2 didepannya tidak mengandung angka lain selain variabel x itu sendiri. Contoh persamaan kuadratnya :
      1. x2 - 8x + 15 = 0
      2. x2 - x - 12 = 0
      3. x2 + 8x + 12 = 0
      4. x2 - 8x + 16 = 0
      5. x2 - 9 = 0
      Adapun langkah-langkah untuk mencari akar-akar persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut, dimana contoh yang kita pakai adalah persamaan kuadrat yang no. 1 yakni x2 - 8x + 15 = 0. (langkah 1) : Tulis persamaan kuadrat itu, seperti berikut ini : x2 - 8x + 15 = 0 (langkah 2) : Tulis dibawahnya dua buah tanda kurung, dengan masing-masing diisi variabel x seperti berikut : (x )(x ) = 0 (langkah 3) : Pikirkan dua buah angka, yang jika dikalikan hasilnya adalah 15, dan jika dua angka itu dijumlahkan hasilnya -8 (negatif 8). Maka tentunya kita akan memikirkan 1 dan 15, atau 3 dan 5, karena hanya dua pasangan bilangan itu yang jika dikalikan menghasilkan 15. Terus agar hasil kalinya positif 15 dan hasil penjumlahan -8, maka yang paling tepat adalah -3 dan -5. Coba kita jumlahkan -3 dan -5 yaitu -3 + (-5) = -8. Betulkan hasilnya -8. Kalau sampai disini masih bingung, kenapa jika dikali hasilnya harus 15? Lihat kembali persamaan kuadratnya yaitu x2 - 8x + 15 = 0. Jadi jika dikali harus menghasilkan c yaitu 15, dan jika dijumlah harus menghasilkan koefisien x, yaitu b. Yang mana b, yang mana c? Kita lihat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0. Jadi c adalah bilangan konstanta-nya (yang tidak berisi variabel x), dan b adalah koefisien dari variabel x yang berpangkat satu(x tanpa pangkat), dan koefisien dari variabel x yang berpangkat 2 atau x2 adalah a, dalam hal ini nilai a = 1. Jadi angka 1 tidak usah ditulis ya didepan x2 seperti aturan yang sudah biasa. (langkah 4) : Masukkan kedua angka itu ke dalam masing-masing tanda kurung, lengkap dengan tanda negatif atau positifnya, seperti berikut ini : (x - 3)(x - 5) = 0 (langkah 5) : Samakan masing-masing setiap suku dalam tanda kurung dengan 0 (nol), seperti berikut ini : (x - 3) = 0 x - 3 = 0 x = 3 (tanda negatif pada 3 hilang karena pindah ruas) Sebenarnya ada teori mendasar mengenai kenapa kalau pindah ruas bisa berubah tanda, dan itu akan saya jelaskan pada posting khusus, agar kita bisa lebih konsentrasi pada materi ini. Jadi kita dapatkan nilai x1 = 3. Selanjutkan kita samakan lagi suku yang lagi satu dengan nol, yaitu : (x - 5) = 0 x - 5 = 0 x = 5 Jadi kita dapatkan x2 = 5. Jadi adapun akar-akar persamaan kuadrat x2 - 8x + 15 = 0 adalah x1 = 3 dan x2 = 5, atau bisa juga disebut sebagai himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 - 8x + 15 = 0 adalah HP = {3, 5}. Nah, gampang sekali bukan untuk memahami cara yang pertama. Selanjutnya untuk lebih memantapkan bisa dicoba contoh persamaan kuadrat di atas yang nomor 2 sampai nomor 5. Klik next untuk melanjutkan pelajaran mengenai memfaktorkan dengan cara II.

Sifat Logaritma

Dari, sekian banyak sifat logaritma, kali ini akan dibahas sifat logaritma yang sering keluar dalam soal, baik pada ujian sekolah maupun ujian nasional dan ujian masuk perguruan tinggi. Langsung saja kita lihat kembali bentuk umum logaritma, yaitu:

Jika sudah ingat kembali bentuk umumnya, sekarang kita lanjutkan dengan sifat logaritma yang ke-8, yaitu dengan bentuk sebagai berikut :

Penjelasan singkat :
bentuk seperti a log b, dapat diubah menjadi b log a, dengan jalan menjadi 1 per. Fungsinya adalah ketika dalam suatu soal yang diketahui adalah hasil dari b log a, maka bentuk a log b diubah menjadi seper b log a, sesuai sifat logaritma ini.

Contoh penggunaannya dalam soal :

Contoh 1:

Jika diketahui nilai dari blog a = 3, hitunglah nilai dari alog b :

Jawab :
Sesuai dengan sifat yang tadi, maka :
Gampang khan! Mari lanjutkan dengan contoh berikut.

Contoh 2:

Diketahui, nilai dari 5log 7 = a, 5log 8 = c. Hitunglah nilai dari 7log 5 x 8log 5 !

Jawab :

Karena yang dicari adalah 7log 5 dan 8log 5, maka ubah bentuk 5log 7 = a dan 5log 8 menjadi bentuk yang dicari yaitu :

Sehingga, jika diselesaikan menjadi :

Sampai disini, kalian sudah mampu mengerjakan soal yang diberikan. Untuk selnjutnya pembahasan soal campuran dari sifat-sifat logaritma akan di bahas pada posting berikutnya. Selamat berlatih !

Logaritma Kelas 10

Nah, pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan sifat logaritma yang pertama, dari lebih kurang sembilan sifat yang ada. Sebelumnya mari kita lihat dulu bentuk umum untuk logaritma, yaitu:


dimana :
a = bilangan pokok atau basis dari logaritma,
y = numerus.


Sekarang, mari kita mulai dengan sifat yang pertama ( I )

ingat :
a > 0, b > 0, c > 0, dan
a tidak sama dengan 1

Contoh penggunaannya di dalam soal :



Nah gampang bukan...
Untuk membuktikan sifat itu benar, maka harus dicari hasil logaritma masing-masing ruas, yaitu ruas kiri dan ruas kanan. Dimana ruas pada kiri dicari hasil logaritma 16 dan pada ruas kanan dicari hasil logartima 4, sebagai berikut:



Jadi, sekarang kita telah menguasai sifat trigonometri yang pertama. Untuk sifat selanjutnya akan saya bahas pada posting berikutnya. Selamat belajar... !!