Selamat mencoba ya.
Rumus yang perlu diingat adalah :Contoh Soal #2 Limit Trigonometri
Nah, ini contoh soal dan penyelesaian limit trigonometri yang kedua. Sebenarnya ini lebih mudah dan tentunya lebih dasar dari soal yang pertama yang kakak bahas.
Selamat mencoba ya.
Rumus yang perlu diingat adalah :
sehingga 
sehingga 
Selamat mencoba ya.
Rumus yang perlu diingat adalah :
Contoh Soal Limit Trigonometri
Di bawah ini kk mau posting tentang contoh soal dan penyelesaian dari limit trigonometri.
Untuk penjelasan limit trigonometri sendiri kk akan bahas menyusul pada posting yang berikutnya, siapa tau ada yang mengalami kesulitan dengan contoh soal berikut.
Selamat belajar... :)
Rumus yang perlu diingat dan tentunya dipakai pada penyelesaian di atas adalah :
Ok.. gampang khan... :-)
Untuk penjelasan limit trigonometri sendiri kk akan bahas menyusul pada posting yang berikutnya, siapa tau ada yang mengalami kesulitan dengan contoh soal berikut.
Selamat belajar... :)
Rumus yang perlu diingat dan tentunya dipakai pada penyelesaian di atas adalah :
sehingga:
sehingga :
Ok.. gampang khan... :-)
Integral
Integral adalah anti-turunan dari suatu fungsi. Artinya jika diberikan suatu fungsi untuk diintegralkan, maka fungsi tersebut merupakan fungsi yang telah diturunkan, atau telah didiferensialkan. Jadi integral berfungsi untuk mencari fungsi awalnya, yaitu sebelum diturunkan.
Dalam mempelajari integral, maka ada dua yang patut diketahui, yaitu Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu. Integral tak tentu itu adalah pengintegralan yang belum ditentukan batas-batas atau intervalnya. Biasanya hanya untuk mencari fungsi saja, dan tidak mencari penyelesaiannya dengan nilai memasukkan nilai x atau variabel yang lain. Adapun integral tertentu yakni integral yang telah memiliki batas-batas daerah penyelesaian.
Untuk pembahasan yang pertama ini, mari kita pelajari dulu integral tak tentu.
Integral Tak Tentu.
Misalkan, f’(x) adalah fungsi yang telah diturunkan, dan f(x) merupakan fungsi awalnya, maka rumus umum pengintegralannya adalah :
Dimana : c adalah suatu konstanta.
Adapun rumus-rumus pada integral tak tentu diberikan sebagai berikut :
dimana :
c adalah suatu konstanta, dan fungsi f(x) merupakan turunan dari fungsi F(X).
dimana :
g(x) merupakan fungsi turunan dari fungsi G(x).dimana n ≠ 1.
dimana k dan c adalah suatu konstanta.
dimana n ≠ 1.
Untuk rumus pertama dan kedua hanya merupakan bentuk lain dari rumus umum, jadi hanya menekankan pengertian bahwa fungsi asal berasal dari pengintegralan dari fungsi turunan yang diberikan dalam soal.
Contoh Soal:
1. Hitunglah integral dari fungsi f(x) = x2
2. Carilah fungsi asal dari fungsi g(x) = x
3. Carilah integral dari f(x) = 3x2
Jawab:
Untuk soal nomor 1 dan 2 kita gunakan rumus nomor 3, dimana n adalah pangkat dari variabel x, sehingga penyelesaiannya seperti berikut ini :
1. Integral dari f(x) = x2
2. Integral dari g(x) = x
Untuk soal nomor 3, kita gunakan rumus nomor 4, karena ada suatu konstanta k, dimana nilai k = 3, dan n = 2, maka :
3. Integral dari f(x) = 3x2
Nah, kira-kira cukup mudah bukan. Untuk rumus yang berikutnya akan kita bahas pada posting selanjutnnya. Silahkan tulis di kotak komentar jika ada pertanyaan. Selamat berlatih.
Contoh Soal:
1. Hitunglah integral dari fungsi f(x) = x2
2. Carilah fungsi asal dari fungsi g(x) = x
3. Carilah integral dari f(x) = 3x2
Jawab:
Untuk soal nomor 1 dan 2 kita gunakan rumus nomor 3, dimana n adalah pangkat dari variabel x, sehingga penyelesaiannya seperti berikut ini :
1. Integral dari f(x) = x2
2. Integral dari g(x) = x
Untuk soal nomor 3, kita gunakan rumus nomor 4, karena ada suatu konstanta k, dimana nilai k = 3, dan n = 2, maka :
3. Integral dari f(x) = 3x2
Nah, kira-kira cukup mudah bukan. Untuk rumus yang berikutnya akan kita bahas pada posting selanjutnnya. Silahkan tulis di kotak komentar jika ada pertanyaan. Selamat berlatih.
Persamaan Kuadrat - Session III
Memfaktorkan Dengan Cara III
Nah, kita telah sampai kepada pelajaran yang terakhir mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, yakni cara III. Cara ketiga ini disebut juga cara distributif, dimana menggunakan sifat-sifat distributif pada perkalian dan penjumlahan, tentu masih ingat kan.
Adapun cara yang ketiga (cara III) ini memiliki fungsi yang sama dengan cara yang kedua (cara II), yaitu paling baik digunakan jika bentuk persamaan itu adalah :
ax2 + bx + c = 0, dimana nilai a (koefisien x2) tidak sama dengan 1.
Contoh persamaan :
Untuk mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan cara III ini, langsung saja kita pada contoh soal, dimana kita ambil persamaan pada contoh no. 1, yaitu :
2x2 + 7x + 3 = 0
(langkah 1) : Carilah dua buah bilangan yang jika dikalikan hasilnya = a x c yaitu 2 x 3 = 6, dan jika dijumlahkan hasilnya adalah b, yaitu 7 (positif 7). Tentunya bilangan itu adalah 6 dan 1, karena:
ac = 6 x 1 = 6, dan
b = 6 + 1 = 7.
(langkah 2) : Tuliskan kedua bilangan itu untuk menggantikan suku bx dari persamaan kuadrat pada soal, masing-masing diisi dengan variabel x, seperti berikut ini:
2x2 + 6x + 1x + 3 = 0
Yang diberi garis bawah maksudnya adalah sama dengan bx (coba saja jumlahkan yang diberi garis bawah itu). Untuk selanjutnya, 1x boleh ditulis x saja. Sehingga persamaan menjadi:
2x2 + 6x + x + 3 = 0
(langkah 3) : Kelompokkan masing-masing dua suku kedalam tanda kurung, seperti berikut ini :
(2x2 + 6x) + (1x + 3) = 0
(langkah 4) : Carilah faktor distribusi atau faktor persekutuan dari dua suku dalam kurung masing-masing, jika ada, seperti berikut ini :
2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0 (faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang pertama yaitu 2x, dan faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang ke dua yaitu 1.
(langkah 5) : Kelompokkan lagi faktor-faktor persekutuan itu menjadi satu dalam tanda kurung (yakni yang diberi tanda huruf tebal), dan pilih satu saja dalam kurung yang sama, seperti berikut ini :
(2x + 1)(x + 3) = 0 [tulis satu saja (x + 3) karena sudah sama]
(langkah 6) : Selesaikan masing-masing bilangan dalam tanda kurung seperti biasa disamakan dengan nol, seperti berikut ini :
(2x + 1) = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
X = - ½ (dapat x1 = - ½)
(x + 3) = 0
x + 3 = 0
x = -3 (dapat x2 = -3)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP = { -3 , - ½ }
Gampang bukan.
Yang paling penting diingat adalah cara III hampir sama dengan cara II, yakni selalu didahului dengan mencari dua buah bilangan yang jika dikali hasilnya sama dengan ac.
Apa itu ac? ac yaitu a dikali c = a x c = ac.
Dimana dapat a dan c? Ya dari persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c = 0, dimana a itu adalah koefisien dari suku x2, dan c adalah bilangan tanpa variabel atau biasa disebut konstanta.
Sudah paham bukan. Boleh dicoba untuk persamaan yang nomor 2 dan 3 diatas untuk latihan. Selamat mencoba. Ingat “practice makes perfect”.
Nah, kita telah sampai kepada pelajaran yang terakhir mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, yakni cara III. Cara ketiga ini disebut juga cara distributif, dimana menggunakan sifat-sifat distributif pada perkalian dan penjumlahan, tentu masih ingat kan.
Adapun cara yang ketiga (cara III) ini memiliki fungsi yang sama dengan cara yang kedua (cara II), yaitu paling baik digunakan jika bentuk persamaan itu adalah :
ax2 + bx + c = 0, dimana nilai a (koefisien x2) tidak sama dengan 1.
Contoh persamaan :
- 2x2 + 7x + 3 = 0, (disini nilai a adalah 2, yaitu pada 2x2)
- 3x2 + 7x - 6 = 0, (nilai a adalah 3)
- 8x2 + 10x - 3 = 0, (nilai a adalah 8)
Untuk mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan cara III ini, langsung saja kita pada contoh soal, dimana kita ambil persamaan pada contoh no. 1, yaitu :
2x2 + 7x + 3 = 0
(langkah 1) : Carilah dua buah bilangan yang jika dikalikan hasilnya = a x c yaitu 2 x 3 = 6, dan jika dijumlahkan hasilnya adalah b, yaitu 7 (positif 7). Tentunya bilangan itu adalah 6 dan 1, karena:
ac = 6 x 1 = 6, dan
b = 6 + 1 = 7.
(langkah 2) : Tuliskan kedua bilangan itu untuk menggantikan suku bx dari persamaan kuadrat pada soal, masing-masing diisi dengan variabel x, seperti berikut ini:
2x2 + 6x + 1x + 3 = 0
Yang diberi garis bawah maksudnya adalah sama dengan bx (coba saja jumlahkan yang diberi garis bawah itu). Untuk selanjutnya, 1x boleh ditulis x saja. Sehingga persamaan menjadi:
2x2 + 6x + x + 3 = 0
(langkah 3) : Kelompokkan masing-masing dua suku kedalam tanda kurung, seperti berikut ini :
(2x2 + 6x) + (1x + 3) = 0
(langkah 4) : Carilah faktor distribusi atau faktor persekutuan dari dua suku dalam kurung masing-masing, jika ada, seperti berikut ini :
2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0 (faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang pertama yaitu 2x, dan faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang ke dua yaitu 1.
(langkah 5) : Kelompokkan lagi faktor-faktor persekutuan itu menjadi satu dalam tanda kurung (yakni yang diberi tanda huruf tebal), dan pilih satu saja dalam kurung yang sama, seperti berikut ini :
(2x + 1)(x + 3) = 0 [tulis satu saja (x + 3) karena sudah sama]
(langkah 6) : Selesaikan masing-masing bilangan dalam tanda kurung seperti biasa disamakan dengan nol, seperti berikut ini :
(2x + 1) = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
X = - ½ (dapat x1 = - ½)
(x + 3) = 0
x + 3 = 0
x = -3 (dapat x2 = -3)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP = { -3 , - ½ }
Gampang bukan.
Yang paling penting diingat adalah cara III hampir sama dengan cara II, yakni selalu didahului dengan mencari dua buah bilangan yang jika dikali hasilnya sama dengan ac.
Apa itu ac? ac yaitu a dikali c = a x c = ac.
Dimana dapat a dan c? Ya dari persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c = 0, dimana a itu adalah koefisien dari suku x2, dan c adalah bilangan tanpa variabel atau biasa disebut konstanta.
Sudah paham bukan. Boleh dicoba untuk persamaan yang nomor 2 dan 3 diatas untuk latihan. Selamat mencoba. Ingat “practice makes perfect”.
Statistika - Kelas 9
Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan, pengolahan, dan penyajian data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh.
Datum adalah satu buah data/fakta. Contoh: umur Andi adalah 15. Maka 15 adalah datum.
Data adalah kumpulan daripada datum tersebut. Atau keseluruhan data hasil suatu pengumpulan. Contoh: umur Andi adalah 15, umur Budi adalah 14, umur Ristya 16, umur Dian 15. Maka 15, 14, 16, dan 15 adalah data.
Data dapat disajikan dengan tabel ataupun dengan diagram. Dimana penyajian dalam diagram antara lain diagram gambar (piktogram), diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran.
Data yang telah dikumpulkan tersebut kemudian akan diolah untuk mendapatkan kesimpulan-kesimpulan yang berkaitan dengan data itu. Adapun cara pengolahan data ada dua, yaitu berdasarkan ukuran pemusatan dan berdasarkan ukuran penyebarannya.
Pengolahan data berdasarkan ukuran pemusatan terdiri atas :
1. Mean atau rata-rata, yakni jumlah seluruh datum dibagi banyak datum.
2. Median atau nilai tengah setelah data diurutkan.
3. Modus atau nilai yang paling sering muncul (frekuensi terbesar).
Pengolahan data berdasarkan ukuran penyebaran terdiri atas:
1. Kuartil
a. Kuartil Bawah
b. Kuartil Tengah
c. Kuartil Atas
2. Jangkuan, yakni selisih antara data terbesar dengan data terkecil.
Rumus untuk menghitung rata-rata atau mean:
Dimana:
x = mean atau rata-rata,
x1 = datum ke-1
x2 = datum ke-2
xn = datum ke-n (nilai n itu tergantung banyaknya datum)
n = banyaknya datum atau banyak data.
Contoh soal:
1. Dari hasil pengukuran 7 orang siswa, didapat data tinggi badan siswa kelas 9.A yaitu 155 cm, 150 cm, 156 cm, 150 cm, 152 cm, 153 cm, dan 152 cm. Hitunglah rata-rata tinggi badan siswa kelas 9.A itu !
Jawab
Diketahui:
data tinggi badan : 155, 150, 156, 150, 152, 153, 152
banyak datum (n) : 7
Ditanya:
Rata-rata atau mean:
Penyelesaian:
Mean (x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
n
Mean (x) = 155 + 150 + 156 + 150 + 152 + 153 + 152
7
Mean (x) = 1068
7
Mean (x) = 152,57
Jadi rata-rata tinggi badan siswa kelas 9.A adalah 152,57 cm.
Datum adalah satu buah data/fakta. Contoh: umur Andi adalah 15. Maka 15 adalah datum.
Data adalah kumpulan daripada datum tersebut. Atau keseluruhan data hasil suatu pengumpulan. Contoh: umur Andi adalah 15, umur Budi adalah 14, umur Ristya 16, umur Dian 15. Maka 15, 14, 16, dan 15 adalah data.
Data dapat disajikan dengan tabel ataupun dengan diagram. Dimana penyajian dalam diagram antara lain diagram gambar (piktogram), diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran.
Data yang telah dikumpulkan tersebut kemudian akan diolah untuk mendapatkan kesimpulan-kesimpulan yang berkaitan dengan data itu. Adapun cara pengolahan data ada dua, yaitu berdasarkan ukuran pemusatan dan berdasarkan ukuran penyebarannya.
Pengolahan data berdasarkan ukuran pemusatan terdiri atas :
1. Mean atau rata-rata, yakni jumlah seluruh datum dibagi banyak datum.
2. Median atau nilai tengah setelah data diurutkan.
3. Modus atau nilai yang paling sering muncul (frekuensi terbesar).
Pengolahan data berdasarkan ukuran penyebaran terdiri atas:
1. Kuartil
a. Kuartil Bawah
b. Kuartil Tengah
c. Kuartil Atas
2. Jangkuan, yakni selisih antara data terbesar dengan data terkecil.
Rumus untuk menghitung rata-rata atau mean:
Dimana:
x = mean atau rata-rata,
x1 = datum ke-1
x2 = datum ke-2
xn = datum ke-n (nilai n itu tergantung banyaknya datum)
n = banyaknya datum atau banyak data.
Contoh soal:
1. Dari hasil pengukuran 7 orang siswa, didapat data tinggi badan siswa kelas 9.A yaitu 155 cm, 150 cm, 156 cm, 150 cm, 152 cm, 153 cm, dan 152 cm. Hitunglah rata-rata tinggi badan siswa kelas 9.A itu !
Jawab
Diketahui:
data tinggi badan : 155, 150, 156, 150, 152, 153, 152
banyak datum (n) : 7
Ditanya:
Rata-rata atau mean:
Penyelesaian:
Mean (x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
n
Mean (x) = 155 + 150 + 156 + 150 + 152 + 153 + 152
7
Mean (x) = 1068
7
Mean (x) = 152,57
Jadi rata-rata tinggi badan siswa kelas 9.A adalah 152,57 cm.
Persamaan Kuadrat - Session II
Memfaktorkan Dengan Cara II
Nah, jika sudah selesai mencoba kelima persamaan kuadrat yang telah diberikan pada pelajaran sebelumnya, sekarang kita lanjutkan saja pada pelajaran memfaktorkan dengan cara yang kedua.
Cara II
Cara yang kedua ini, dipakai jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 itu memiliki nilai a yang tidak sama dengan 1. Misalkan memiliki bentuk-bentuk seperti berikut ini :
Nah, bisa dilihat kan, kalau nilai a pada persamaan kuadrat no. 1 adalah 5, nilai a pada persamaan no. 2 adalah 12, dan yang no. 3 adalah 6.
Untuk itu, cara II ini akan sangat ampuh untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat itu. Bagaimana kalau kita langsung saja menyelesaikan dengan contoh berikut ini, dimana kita coba contoh persamaan yang no. 1:
(langkah 1) : Seperti biasa, tulis persamaan itu:
5x2 + 8x - 4 = 0
(langkah 2) : Tuliskan dua buah tanda kurung, yang masing-masing tanda kurung diisi dengan suku kuadrat (ax2) dari persamaan kuadrat itu tanpa menulis pangkatnya. Untuk lebih jelas, seperti berikut ini:
(5x )(5x ) = 0
(langkah 3) : Beri garis bagi dibawah dua tanda kurung itu dan tuliskan nilai a (koefisien dari x2) dibawah garis itu, yang dalam hal ini nilai a adalah 5, seperti berikut ini:
(5x )(5x ) = 0
5
Garis bagi itu berarti dia akan membagi masing-masing suku dalam tanda kurung.
(langkah 4) : Pikirkan dua bilangan, yang jika dikali hasilnya = ac = a dikali c = 5 x (-4) = -20.
Tentu sudah tahu kan, yang mana a dan yang mana c. Kalau lupa, ingat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0. Nah, kalau persamaannya adalah 5x2 + 8x - 4 = 0, maka a=5, b=8, dan c=-4. Gampang khan.
Lalu bilangan apa sih yang jika dikali hasilnya -20 (negatif 20) dan jika dijumlah hasilnya 8 (positif 8). Mungkin kalian akan mendapatkan -20 dan 1, atau 20 dan -1, atau -4 dan 5, atau 4 dan -5, atau juga -2 dan 10, atau 2 dan -10. Sebab jika masing-masing dua bilangan itu dikali, hasilnya adalah -20. Tapi yang jika dijumlah hasilnya adalah 8 (positif 8), maka yang paling tepat adalah -2 dan 10. Benar kan.
Buktikan, yaitu :
-2 X 10 = -20
-2 + 10 = 8 (terbukti).
(langkah 5) : Masukkan dua bilangan itu kedalam tanda kurung tadi, seperti berikut ini :
(5x - 2)(5x + 10) = 0
5
(langkah 6) : Samakan tiap bilangan dalam tanda kurung beserta pembaginya dengan 0 (nol), seperti berikut ini:
(5x - 2) = 0
5
5x - 2 = 0 sama-sama dibagi lima, maka menjadi :
5
5x - 2 = 0
5 5
x - 2 = 0 pindahkan -2/5 keruas kanan, menjadi :
5
x = 2/5 (pindah ruas, maka tanda negatif menjadi positif)
Jadi kita dapatkan x1 = 2/5 (dua per lima)
Lanjutkan dengan tanda kurung yang lagi satu, yaitu :
(5x + 10) = 0
5
5x + 10 = 0 sama-sama dibagi lima menjadi:
5
5x + 10 = 0
5 5
x + 2 = 0
x = -2 (seperti biasa pindah ruas berubah tanda)
Jadi, kita dapatkan akar yang kedua, yaitu x2 = -2 (negatif 2)).
Adapun himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 5x2 + 8x - 4 = 0 adalah HP = {2,5 dan -2}.
Atau dengan kata lain, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat 5x2 + 8x - 4 = 0 adalah x1 = 2/5 dan x2 = -2.
Silahkan lihat ringkasan Cara II dalam gambar berikut:
Selesai, untuk cara II. Selanjutnya silahkan dicoba mencari akar-akar untuk persamaan kuadrat yang no. 2 dan no. 3, seperti contoh. Gampang sekali, tinggal diikuti langkah-langkah itu, perlahan-lahan dahulu agar semakin mengerti.
Untuk melanjutkan pelajaran mengenai memfaktorkan persamaan kuadrat dengan cara yang ke-3 / Cara III, klik disini.
Nah, jika sudah selesai mencoba kelima persamaan kuadrat yang telah diberikan pada pelajaran sebelumnya, sekarang kita lanjutkan saja pada pelajaran memfaktorkan dengan cara yang kedua.
Cara II
Cara yang kedua ini, dipakai jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 itu memiliki nilai a yang tidak sama dengan 1. Misalkan memiliki bentuk-bentuk seperti berikut ini :
- 5x2 + 8x - 4 = 0
- 12x2 - 20x + 3 = 0
- 6x2 + 11x + 3 = 0
Nah, bisa dilihat kan, kalau nilai a pada persamaan kuadrat no. 1 adalah 5, nilai a pada persamaan no. 2 adalah 12, dan yang no. 3 adalah 6.
Untuk itu, cara II ini akan sangat ampuh untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat itu. Bagaimana kalau kita langsung saja menyelesaikan dengan contoh berikut ini, dimana kita coba contoh persamaan yang no. 1:
(langkah 1) : Seperti biasa, tulis persamaan itu:
5x2 + 8x - 4 = 0
(langkah 2) : Tuliskan dua buah tanda kurung, yang masing-masing tanda kurung diisi dengan suku kuadrat (ax2) dari persamaan kuadrat itu tanpa menulis pangkatnya. Untuk lebih jelas, seperti berikut ini:
(5x )(5x ) = 0
(langkah 3) : Beri garis bagi dibawah dua tanda kurung itu dan tuliskan nilai a (koefisien dari x2) dibawah garis itu, yang dalam hal ini nilai a adalah 5, seperti berikut ini:
(5x )(5x ) = 0
5
Garis bagi itu berarti dia akan membagi masing-masing suku dalam tanda kurung.
(langkah 4) : Pikirkan dua bilangan, yang jika dikali hasilnya = ac = a dikali c = 5 x (-4) = -20.
Tentu sudah tahu kan, yang mana a dan yang mana c. Kalau lupa, ingat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0. Nah, kalau persamaannya adalah 5x2 + 8x - 4 = 0, maka a=5, b=8, dan c=-4. Gampang khan.
Lalu bilangan apa sih yang jika dikali hasilnya -20 (negatif 20) dan jika dijumlah hasilnya 8 (positif 8). Mungkin kalian akan mendapatkan -20 dan 1, atau 20 dan -1, atau -4 dan 5, atau 4 dan -5, atau juga -2 dan 10, atau 2 dan -10. Sebab jika masing-masing dua bilangan itu dikali, hasilnya adalah -20. Tapi yang jika dijumlah hasilnya adalah 8 (positif 8), maka yang paling tepat adalah -2 dan 10. Benar kan.
Buktikan, yaitu :
-2 X 10 = -20
-2 + 10 = 8 (terbukti).
(langkah 5) : Masukkan dua bilangan itu kedalam tanda kurung tadi, seperti berikut ini :
(5x - 2)(5x + 10) = 0
5
(langkah 6) : Samakan tiap bilangan dalam tanda kurung beserta pembaginya dengan 0 (nol), seperti berikut ini:
(5x - 2) = 0
5
5x - 2 = 0 sama-sama dibagi lima, maka menjadi :
5
5x - 2 = 0
5 5
x - 2 = 0 pindahkan -2/5 keruas kanan, menjadi :
5
x = 2/5 (pindah ruas, maka tanda negatif menjadi positif)
Jadi kita dapatkan x1 = 2/5 (dua per lima)
Lanjutkan dengan tanda kurung yang lagi satu, yaitu :
(5x + 10) = 0
5
5x + 10 = 0 sama-sama dibagi lima menjadi:
5
5x + 10 = 0
5 5
x + 2 = 0
x = -2 (seperti biasa pindah ruas berubah tanda)
Jadi, kita dapatkan akar yang kedua, yaitu x2 = -2 (negatif 2)).
Adapun himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 5x2 + 8x - 4 = 0 adalah HP = {2,5 dan -2}.
Atau dengan kata lain, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat 5x2 + 8x - 4 = 0 adalah x1 = 2/5 dan x2 = -2.
Silahkan lihat ringkasan Cara II dalam gambar berikut:
Selesai, untuk cara II. Selanjutnya silahkan dicoba mencari akar-akar untuk persamaan kuadrat yang no. 2 dan no. 3, seperti contoh. Gampang sekali, tinggal diikuti langkah-langkah itu, perlahan-lahan dahulu agar semakin mengerti.
Untuk melanjutkan pelajaran mengenai memfaktorkan persamaan kuadrat dengan cara yang ke-3 / Cara III, klik disini.
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat itu adalah persamaan yang memiliki variabel yang berpangkat dua. Biasanya yang berpangkat dua itu adalah x. Sehingga bentuk umum persamaan kuadrat adalah :
ax2 + bx + c = 0.
dengan syarat: a tidak sama dengan nol, dan a, b, dan c adalah elemen himpunan bilangan Real.
Kenapa disebut persamaan, karena ada tanda sama dengan '=' itu. Jadi kalau tandanya tidak '=' seperti tanda 'kurang dari' < atau 'lebih dari' >, itu akan disebut sebagai pertidaksamaan.
Persamaan kuadrat itu memiliki penyelesaian yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat, yang biasanya ada dua yaitu x1 dan x2. Disebut penyelesaian karena jika nilai dari salah satu penyelesaian itu dimasukkan pada variabel x pada persamaan akan menghasilkan nilai nol. Sehingga akar-akar persamaan kuadrat juga disebut faktor pembuat nol.
Adapun cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu :
Yang kalau diringkas bisa disebut 3M. Wah seperti memberantas sarang nyamuk saja, hehe. Yuk sekarang coba kita bahas satu persatu.
ax2 + bx + c = 0.
dengan syarat: a tidak sama dengan nol, dan a, b, dan c adalah elemen himpunan bilangan Real.
Kenapa disebut persamaan, karena ada tanda sama dengan '=' itu. Jadi kalau tandanya tidak '=' seperti tanda 'kurang dari' < atau 'lebih dari' >, itu akan disebut sebagai pertidaksamaan.
Persamaan kuadrat itu memiliki penyelesaian yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat, yang biasanya ada dua yaitu x1 dan x2. Disebut penyelesaian karena jika nilai dari salah satu penyelesaian itu dimasukkan pada variabel x pada persamaan akan menghasilkan nilai nol. Sehingga akar-akar persamaan kuadrat juga disebut faktor pembuat nol.
Adapun cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu :
- Memfaktorkan
- cara I
- cara II
- cara III
- Melengkaptkan Kuadrat Sempurna
- Menggunakan Rumus ABC
Yang kalau diringkas bisa disebut 3M. Wah seperti memberantas sarang nyamuk saja, hehe. Yuk sekarang coba kita bahas satu persatu.
- Memfaktorkan
- Cara I Cara yang pertama ini paling tepat digunakan jika nilai a pada variabel x2 dari persamaan ax2 + bx + c = 0 adalah 1 (satu). Atau secara lebih mudah yaitu x2 didepannya tidak mengandung angka lain selain variabel x itu sendiri. Contoh persamaan kuadratnya :
- x2 - 8x + 15 = 0
- x2 - x - 12 = 0
- x2 + 8x + 12 = 0
- x2 - 8x + 16 = 0
- x2 - 9 = 0
Statistik
Statistik adalah kegiatan mengumpulkan, menyusun, mengolah atau menganalisa, serta menyatikan data dalam bentuk angka dan atau gambar, untuk kemudian diambil suatu kesimpulan yang bisa diuji dengan hipotesa.
Data-data itu bisa disajikan kedalam beberapa diagram, antara lain :
Beberapa istilah penting dalam statistika, yaitu:
Data-data itu bisa disajikan kedalam beberapa diagram, antara lain :
- Diagram garis
- Diagram batang
- Diagram lingkaran
- Diagram lambang atau piktogram
- Diagram batang daun
- Diagram kotak garis
Beberapa istilah penting dalam statistika, yaitu:
- Datum
Setiap data tunggal itu dinamakan datum. - Data
Kumpulan dari beberapa datum dinamakan data. - Populasi
Populasi adalah keseluruhan elemen atau unsur (bisa berupa orang, benda atau kejadian) yang akan dijadikan objek penelitian. - Sampel
Sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil untuk diteliti dan mampu mewakili karakteristik dari populasi itu sendiri. - Frekuensi
Frekuensi adalah jumlah dari seringnya datum itu muncul. - Ukuran Pemusatan Data
- Mean atau rataan hitung
Mean atau rata-rata adalah suatu ukuran pemusatan data, dimana diperoleh dari jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. - Median
Median merupakan suatu ukuran pemusatan data dimana ia adalah nilai yang terletak ditengah-tengah dari sekelompok datum (data) yang diurutkan dari kecil menuju besar. Apabila banyak data ganjil, maka median tepat ditengah-tengah, dan apabila data genap maka median adalah jumlah dua datum yang ditengah dibagi dua. - Modus
Modus merupakan salah satu ukuran pemusatan data dimana ia adalah nilai yang paling sering muncul atau datum dengan frekuensi tertinggi.
Contoh Soal - Permutasi - Kelas 11 IPA
Permutasi adalah penyusunan dari n unsur yang tersedia menjadi beberapa kemungkinan yang dapat dibentuk atau disusun dengan pengambilan sebanyak r unsur.
Jawab:
Diketahui :
n = 3
r = 2
maka, masukkan pada rumus, seperti berikut ini :
dan hasilnya adalah 6 cara penyusunan.
Mari kita buktikan dengan metode pencacahan bilangan apa saja yang bisa di bentuk dari angka 2, 4 dan 5.
Ternyata bilangan yang bisa disusun dari tiga angka itu adalah 6 seperti yang dicari dengan menggunakan rumus. Lain halnya kalo bilangan itu boleh memakai angka yang berulang, maka bilangan yang boleh dibentuk akan mencakup bilangan 22, 44, dan 55.
Nah sampai disini tentunya sudah paham bukan, mari kita lanjutkan dengan contoh berikut:
contoh 2 :
Dari angka-angka berikut yakni 2, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9, tentukan banyak bilangan tiga angka yang kurang dari 500 yang dapat disusun, dimana angka-angka tidak boleh berulang !
Jawab:
Nah, soal seperti ini lebih variatif, dimana ada sebuah ketentuan yaitu < 500. Jadi adik-adik harus berpikir sedikit, yaitu bilangan yang kurang dari 500 pasti tidak lebih dari 499. Jadi untuk angka paling depan dari bilangan yang bisa dipilih hanya angka 2 dan angka 4. Karena jika kita ambil angka 5, 6, 7, 8, dan 9, nantinya bisa terbentuk bilangan yang lebih dari 500 seperti bilangan 567, 587, dan atau 576. Khan tidak < 500 namanya. Nah, 2 bilangan pertama yang bisa dipilih itu yaitu angka 2 dan angka 4 kita sebut faktor pengali yang pertama yaitu 2. Dan 2 ini kita masukkan pada kotak I untuk memudahkan proses pengalian. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat pada kotak pencacahan berikut :
Keterangan gambar :
nah, hasil dari permutasi 2 kotak yang tersedia adalah 20 cara. Sementara dari kotak pertama kita bisa menyusun dengan 2 cara, maka keseluruhan kotak cara menyusunnya adalah dengan 2 x 20 = 40 cara penyusunan. Artinya bilangan 3 angka yang bisa dibentuk adalah sebanyak 40 bilangan.
Silahkan adik-adik membuktikan dengan metode pencacahan atau secara manual, bilangan apa saja yang < 500 yang bisa dibentuk.
Selamat mencoba dan tetap berlatih.
Misalnya menyusun pasangan baju dan celana, menyusun pengurus kelas dari sekian banyak siswa, menyusun kata dengan 5 huruf dari 26 huruf yang tersedia, dan sebagainya.
Adapun rumus umumnya adalah :
Contoh 1:
Dari tiga angka yang tersedia (n=3) susunlah menjadi bilangan dua angka (r=2) dimana tidak boleh ada bilangan yang berulang atau ganda pada tiap satu bilangan. Angka-angka yang diberikan adalah 2, 4, dan 5.Adapun rumus umumnya adalah :
Contoh 1:Jawab:
Diketahui :
n = 3
r = 2
maka, masukkan pada rumus, seperti berikut ini :
dan hasilnya adalah 6 cara penyusunan.Mari kita buktikan dengan metode pencacahan bilangan apa saja yang bisa di bentuk dari angka 2, 4 dan 5.
Ternyata bilangan yang bisa disusun dari tiga angka itu adalah 6 seperti yang dicari dengan menggunakan rumus. Lain halnya kalo bilangan itu boleh memakai angka yang berulang, maka bilangan yang boleh dibentuk akan mencakup bilangan 22, 44, dan 55.Nah sampai disini tentunya sudah paham bukan, mari kita lanjutkan dengan contoh berikut:
contoh 2 :
Dari angka-angka berikut yakni 2, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9, tentukan banyak bilangan tiga angka yang kurang dari 500 yang dapat disusun, dimana angka-angka tidak boleh berulang !
Jawab:
Nah, soal seperti ini lebih variatif, dimana ada sebuah ketentuan yaitu < 500. Jadi adik-adik harus berpikir sedikit, yaitu bilangan yang kurang dari 500 pasti tidak lebih dari 499. Jadi untuk angka paling depan dari bilangan yang bisa dipilih hanya angka 2 dan angka 4. Karena jika kita ambil angka 5, 6, 7, 8, dan 9, nantinya bisa terbentuk bilangan yang lebih dari 500 seperti bilangan 567, 587, dan atau 576. Khan tidak < 500 namanya. Nah, 2 bilangan pertama yang bisa dipilih itu yaitu angka 2 dan angka 4 kita sebut faktor pengali yang pertama yaitu 2. Dan 2 ini kita masukkan pada kotak I untuk memudahkan proses pengalian. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat pada kotak pencacahan berikut :
Keterangan gambar :- "3" kotak mewakili bilangan 3 angka yang akan dibentuk.
- angka 2 pada kotak pertama artinya 2 angka yang boleh dipilih untuk mengisi kotak I, yaitu angka 2 dan angka 4.
Kenapa hanya angka 2 dan 4 ???
Karena bilangan yang diminta adalah < 500, jadi hanya bisa kepala 2 dan 4. - Jadi, yang bisa dipermutasikan selanjutnya hanya 2 kotak terakhir, yaitu kotak II dan kotak III.
nah, hasil dari permutasi 2 kotak yang tersedia adalah 20 cara. Sementara dari kotak pertama kita bisa menyusun dengan 2 cara, maka keseluruhan kotak cara menyusunnya adalah dengan 2 x 20 = 40 cara penyusunan. Artinya bilangan 3 angka yang bisa dibentuk adalah sebanyak 40 bilangan.Silahkan adik-adik membuktikan dengan metode pencacahan atau secara manual, bilangan apa saja yang < 500 yang bisa dibentuk.
Selamat mencoba dan tetap berlatih.
Sifat Logaritma
Dari, sekian banyak sifat logaritma, kali ini akan dibahas sifat logaritma yang sering keluar dalam soal, baik pada ujian sekolah maupun ujian nasional dan ujian masuk perguruan tinggi. Langsung saja kita lihat kembali bentuk umum logaritma, yaitu:
Jika sudah ingat kembali bentuk umumnya, sekarang kita lanjutkan dengan sifat logaritma yang ke-8, yaitu dengan bentuk sebagai berikut :
Penjelasan singkat :
bentuk seperti a log b, dapat diubah menjadi b log a, dengan jalan menjadi 1 per. Fungsinya adalah ketika dalam suatu soal yang diketahui adalah hasil dari b log a, maka bentuk a log b diubah menjadi seper b log a, sesuai sifat logaritma ini.
Contoh penggunaannya dalam soal :
Contoh 1:
Jika diketahui nilai dari blog a = 3, hitunglah nilai dari alog b :
Jawab :
Sesuai dengan sifat yang tadi, maka :
Gampang khan! Mari lanjutkan dengan contoh berikut.
Contoh 2:
Diketahui, nilai dari 5log 7 = a, 5log 8 = c. Hitunglah nilai dari 7log 5 x 8log 5 !
Jawab :
Karena yang dicari adalah 7log 5 dan 8log 5, maka ubah bentuk 5log 7 = a dan 5log 8 menjadi bentuk yang dicari yaitu :
Sehingga, jika diselesaikan menjadi :
Sampai disini, kalian sudah mampu mengerjakan soal yang diberikan. Untuk selnjutnya pembahasan soal campuran dari sifat-sifat logaritma akan di bahas pada posting berikutnya. Selamat berlatih !
Jika sudah ingat kembali bentuk umumnya, sekarang kita lanjutkan dengan sifat logaritma yang ke-8, yaitu dengan bentuk sebagai berikut :
Penjelasan singkat :bentuk seperti a log b, dapat diubah menjadi b log a, dengan jalan menjadi 1 per. Fungsinya adalah ketika dalam suatu soal yang diketahui adalah hasil dari b log a, maka bentuk a log b diubah menjadi seper b log a, sesuai sifat logaritma ini.
Contoh penggunaannya dalam soal :
Contoh 1:
Jika diketahui nilai dari blog a = 3, hitunglah nilai dari alog b :
Jawab :
Sesuai dengan sifat yang tadi, maka :
Gampang khan! Mari lanjutkan dengan contoh berikut.Contoh 2:
Diketahui, nilai dari 5log 7 = a, 5log 8 = c. Hitunglah nilai dari 7log 5 x 8log 5 !
Jawab :
Karena yang dicari adalah 7log 5 dan 8log 5, maka ubah bentuk 5log 7 = a dan 5log 8 menjadi bentuk yang dicari yaitu :
Sehingga, jika diselesaikan menjadi :
Sampai disini, kalian sudah mampu mengerjakan soal yang diberikan. Untuk selnjutnya pembahasan soal campuran dari sifat-sifat logaritma akan di bahas pada posting berikutnya. Selamat berlatih !Permutasi dan Kombinasi
Permutasi adalah proses penyusunan unsur-unsur atau anggota suatu kelompok, menjadi satu atau lebih susunan baru, dimana penyusunan dilakukan dengan memperhatikan urutan dari unsur-unsur atau anggota kelompok tersebut.
Misalnya, urutkanlah bilangan 1, 2, 3 menjadi sebuah bilangan 3 angka, dan berapa banyak angka yang bisa disusun ?
jawab:
bilangan yang bisa disusun dari angka 1, 2, dan 3 adalah 123, 132, 231, 213, 312, dan 321. Banyak bilangan yang bisa disusun adalah 6 bilangan.
Dari bilangan itu terlihat bahwa bilangan 123 (baca: seratus dua puluh tiga) tidak sama dengan bilangan 132 (seratus tiga puluh dua), tidak sama juga dengan bilangan 231 (dua ratus tiga puluh satu), dan seterusnya. Jadi inilah yang dimaksud dengan memperhatikan urutannya.
Contoh 2:
Susunlah sebuah barisan dari 3 orang anak, yaitu Putri, Dian, dan Andre. Berapa barisankah dapat disusun dari ketiga anak itu?
Jawab:
Coba sekarang kita bentuk barisan yang pertama, dengan urutan sebagai berikut:
(1) Putri - Dian - Andre = pada barisan ini Andre paling belakang, ternyata dia boleh dipindah ke tengah, bertukar tempat dengan Dian, yaitu menjadi :
(2) Putri - Andre - Dian
Dua cara berbaris itu dapat disusun dengan menempatkan Putri paling depan pada barisan. Ternyata, Dian dan Andre pun berhak berbaris paling depan juga. Yuk! kita susun lagi, menjadi :
(3) Andre - Dian - Putri
(4) Andre - Putri - Dian
(5) Dian - Andre - Putri
(6) Dian - Putri - Andre
Selesai sudah, banyak barisan yang dapat kita susun, dan ternyata ada 6 buah barisan, atau 6 buah cara berbaris yang bisa disusun dari 3 orang anak tersebut.
Sesuai dengan aturan kaidah pencacahan yang dibahas pada materi sebelumnya, maka hasil 6 diperoleh dari :
Adapun 6 ini diperoleh dari penyusunan 3 unsur akan diambil 3 unsur juga untuk dipermutasikan, sehingga diperoleh rumus untuk penyusunan atau permutasi dari 3 unsur diambil 3 untuk disusun :
Sehingga, diperoleh rumus umum untuk permutasi, yaitu :
n = banyaknya unsur-unsur yang bisa diambil untuk disusun menjadi suatu susunan baru
r = banyak unsur-unsur atau anggota yang diperlukan dari susunan kelompok yang baru
Contoh 3:
Berapa banyak formasi yang dapat disusun dari 4 orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua kelas ?
Jawab:
banyak anggota yang tersedia yaitu 4 orang, sehingga n = 4
akan diambil tiap-tiap 2 orang untuk disusun dalam 2 jabatan itu, maka r = 2
sehingga :
Jadi banyak formasi 2 orang 2 orang atau (permutasi 4 unsur diambil 2), yang bisa disusun dari 4 orang itu adalah 12 formasi atau 12 cara penyusunan.
Selain dengan notasi diatas, masih ada cara lain penulisan notasi permutasi yakni, sebagai berikut :
Bilangan Bulat
Adapun pokok-pokok materi yang harus adik-adik kuasai dalam pengerjaan hitung bilangan bulat, yaitu:
(1) sifat-sifat hitung pada bilangan bulat,
(2) pengerjaan hitung campuran, yaitu dengan konsep urutan sebagai berikut:
(3) mencari faktor persekutuan terbesar atau FPB,
dimana terdapat tiga cara, yaitu :
(4) mencari kelipatan persekutuan terkecil atau KPK,
dimana terdapat tiga cara juga, yaitu :
(1) sifat-sifat hitung pada bilangan bulat,
- sifat komutatif (pertukaran)
- sifat asosiatif (pengelompokan)
- sifat distributif (penyebaran)
(2) pengerjaan hitung campuran, yaitu dengan konsep urutan sebagai berikut:
- bilangan dalam tanda kurung, dikerjakan paling pertama,
- perkalian dan atau pembagian, dikerjakan nomor dua,
- penjumlahan dan atau pengurangan, dikerjakan paling terakhir.
(3) mencari faktor persekutuan terbesar atau FPB,
dimana terdapat tiga cara, yaitu :
- dengan mencari faktor masing-masing bilangan,
- dengan memfaktorkan ketiga bilangan bersamaan dengan faktor prima,
- dengan memfaktorkan masing-masing bilangan dengan pohon faktor.
(4) mencari kelipatan persekutuan terkecil atau KPK,
dimana terdapat tiga cara juga, yaitu :
- dengan mencari kelipatan masing-masing bilangan,
- dengan memfaktorkan ketiga bilangan secara bersamaan dengan faktor prima,
- dengan memfaktorkan masing-masing bilangan dengan pohon faktor.
Mencari KPK dan FPB
Sebelum mulai dengan pembahasan untuk mencari KPK dan FPB dari 2 atau 3 bilangan, akan diterangkan dulu mengenai pengertian dari kelipatan, kelipatan persekutuan, dan KPK itu sendiri.
Kelipatan adalah suatu barisan bilangan yang diperoleh dengan cara menjumlahkan bilangan pokok dengan bilangan itu sendiri, dan seterusnya hasil dari penjumlahan itu dijumlahkan lagi dengan bilangan pokoknya lagi, demikian seterusnya.
Contoh:
Kelipatan 3, yaitu 3 = 3, (3+3), ((3+3)+3), dst...
= 3, 6, 9, 12, 15,... (dst)
Kelipatan 2, yaitu 2 = 2, (2+2), ((2+2)+2), ...
= 2, 4, 6, 8, 10, 12,...
Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari 2 atau lebih bilangan yang memiliki kesamaan atau sekutu.
Contoh: pada bilangan 2 dan 3 diatas, kelipatan yang sama atau bersekutu adalah 6, 12, dan jika kelipatan itu dilanjutkan maka akan ada lagi kelipatan yang sama. Jadi, 2 atau lebih bilangan dapat memiliki lebih dari satu kelipatan persekutuan.
Sementara kelipatan persekutuan terkecil atau KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 2 atau lebih bilangan. Jadi dari sekian banyak kelipatan persekutuan dari 2 atau lebih bilangan, yang dicari atau yang ditunjuk adalah yang paling kecil atau terkecil.
Contoh: pada bilangan 2 dan 3 diatas, kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 6.
Nah, untuk mencari KPK dari 2 atau lebih bilangan, ada 3 cara yang bisa kita gunakan. Adapun cara yang pertama (I) adalah cara yang telah kita bahas diatas tadi, dan merupakan cara paling sederhana, namun untuk bilangan-bilangan dengan angka yang lebih besar, akan memiliki tingkat kesulitan terutama dalam menghitung setiap kelipatan dimana akan memerlukan banyak waktu.
Kali ini, kakak akan berikan penjelasan mengenai cara yang kedua (II) yaitu pembagian faktor prima. Pembagian dengan faktor prima yaitu, bilangan-bilangan yang akan dicari KPK-nya, dibagi dengan suatu bilangan prima, dan dimulai dari mencoba dengan bilangan prima yang paling kecil dahulu, sampai semua bilangan yang dicari KPK-nya itu habis atau hanya menyisakan bilangan 1. Bila ada bilangan yang tidak bisa dibagi dengan suatu faktor prima yang dipilih itu, cukup diturunkan saja, dan nanti kita pilihkan dia suatu faktor prima yang membuat bilangan itu juga habis menjadi 1.
Contoh soal:
Berapakah KPK dari 6, 8, dan 12 ?
Jawab:
Adapun langkah-langkah pembagian faktor prima, sebagai berikut:
(1) Pertama-tama, buatlah barisan ketiga bilangan itu pada satu garis,
(2) kedua, bagilah bilangan itu dengan faktor prima terkecil dalam hal ini 2, karena dari ketiga bilangan itu ada yang bisa dibagi dengan 2.
(3) hasil pembagiannya, langsung tulis dibawah bilangan itu sendiri tepat dibawah garis yang dibuat.
(4) hasil pembagian itu, lalu dibagi lagi dengan faktor prima.
(5) bila ada bilangan yang tidak bisa dibagi diturunkan saja, asal ada minimal satu bilangan yang bisa dibagi.
(6) bagilah terus dengan suatu faktor prima sampai ketiga bilangan bersisa 1.
(7) nah, untuk mencari KPK, maka kalikan semua faktor prima yang dipakai untuk membagi bilangan itu.
Untuk lebih jelas, silahkan lihat pada gambar berikut:
Penjelasan gambar:
Dari gambar itu, terlihat angka yang berwarna biru adalah faktor prima pembagi ketiga bilangan yang dicari KPK-nya.
(1) Hasil pembagian pada baris satu, semua bilangan dari 6, 8, dan 12 bisa dibagi 2.
(2) Pada hasil baris yang kedua, bilangan 3 tidak bisa dibagi 2, sehingga cukup diturunkan saja.
(3) Pada hasil baris ketiga, bilangan 3 tidak bisa dibagi 2, cukup diturunkan saja, dan yang dibagi hanya bilangan 2 sehingga menjadi 1.
(4) Pada hasil pembagian baris keempat, dengan pembagi 3, maka 3 dibagi 3 sehingga menjadi 1, sementara 1 tidak usah dibagi 3, cukup diturunkan 1 saja.
Sehingga, semua bilangan telah bersisa 1.
KPK-nya adalah dengan mengalikan semua faktor pembagi yang menyebabkan ketiga bilangan itu menjadi bersisa satu, yaitu pada gambar kakak beri lingkaran warna merah, yaitu 2 x 2 x 2 x 3 = 24.
Nah, sangat gampang bukan. Sekarang coba kalian berlatih dengan mencari KPK dari 4, 12, dan 24, tentunya dengan cara seperti diatas.
Selamat mencoba ...
Kelipatan adalah suatu barisan bilangan yang diperoleh dengan cara menjumlahkan bilangan pokok dengan bilangan itu sendiri, dan seterusnya hasil dari penjumlahan itu dijumlahkan lagi dengan bilangan pokoknya lagi, demikian seterusnya.
Contoh:
Kelipatan 3, yaitu 3 = 3, (3+3), ((3+3)+3), dst...
= 3, 6, 9, 12, 15,... (dst)
Kelipatan 2, yaitu 2 = 2, (2+2), ((2+2)+2), ...
= 2, 4, 6, 8, 10, 12,...
Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari 2 atau lebih bilangan yang memiliki kesamaan atau sekutu.
Contoh: pada bilangan 2 dan 3 diatas, kelipatan yang sama atau bersekutu adalah 6, 12, dan jika kelipatan itu dilanjutkan maka akan ada lagi kelipatan yang sama. Jadi, 2 atau lebih bilangan dapat memiliki lebih dari satu kelipatan persekutuan.
Sementara kelipatan persekutuan terkecil atau KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 2 atau lebih bilangan. Jadi dari sekian banyak kelipatan persekutuan dari 2 atau lebih bilangan, yang dicari atau yang ditunjuk adalah yang paling kecil atau terkecil.
Contoh: pada bilangan 2 dan 3 diatas, kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 6.
Nah, untuk mencari KPK dari 2 atau lebih bilangan, ada 3 cara yang bisa kita gunakan. Adapun cara yang pertama (I) adalah cara yang telah kita bahas diatas tadi, dan merupakan cara paling sederhana, namun untuk bilangan-bilangan dengan angka yang lebih besar, akan memiliki tingkat kesulitan terutama dalam menghitung setiap kelipatan dimana akan memerlukan banyak waktu.
Kali ini, kakak akan berikan penjelasan mengenai cara yang kedua (II) yaitu pembagian faktor prima. Pembagian dengan faktor prima yaitu, bilangan-bilangan yang akan dicari KPK-nya, dibagi dengan suatu bilangan prima, dan dimulai dari mencoba dengan bilangan prima yang paling kecil dahulu, sampai semua bilangan yang dicari KPK-nya itu habis atau hanya menyisakan bilangan 1. Bila ada bilangan yang tidak bisa dibagi dengan suatu faktor prima yang dipilih itu, cukup diturunkan saja, dan nanti kita pilihkan dia suatu faktor prima yang membuat bilangan itu juga habis menjadi 1.
Contoh soal:
Berapakah KPK dari 6, 8, dan 12 ?
Jawab:
Adapun langkah-langkah pembagian faktor prima, sebagai berikut:
(1) Pertama-tama, buatlah barisan ketiga bilangan itu pada satu garis,
(2) kedua, bagilah bilangan itu dengan faktor prima terkecil dalam hal ini 2, karena dari ketiga bilangan itu ada yang bisa dibagi dengan 2.
(3) hasil pembagiannya, langsung tulis dibawah bilangan itu sendiri tepat dibawah garis yang dibuat.
(4) hasil pembagian itu, lalu dibagi lagi dengan faktor prima.
(5) bila ada bilangan yang tidak bisa dibagi diturunkan saja, asal ada minimal satu bilangan yang bisa dibagi.
(6) bagilah terus dengan suatu faktor prima sampai ketiga bilangan bersisa 1.
(7) nah, untuk mencari KPK, maka kalikan semua faktor prima yang dipakai untuk membagi bilangan itu.
Untuk lebih jelas, silahkan lihat pada gambar berikut:
Penjelasan gambar:
Dari gambar itu, terlihat angka yang berwarna biru adalah faktor prima pembagi ketiga bilangan yang dicari KPK-nya.
(1) Hasil pembagian pada baris satu, semua bilangan dari 6, 8, dan 12 bisa dibagi 2.
(2) Pada hasil baris yang kedua, bilangan 3 tidak bisa dibagi 2, sehingga cukup diturunkan saja.
(3) Pada hasil baris ketiga, bilangan 3 tidak bisa dibagi 2, cukup diturunkan saja, dan yang dibagi hanya bilangan 2 sehingga menjadi 1.
(4) Pada hasil pembagian baris keempat, dengan pembagi 3, maka 3 dibagi 3 sehingga menjadi 1, sementara 1 tidak usah dibagi 3, cukup diturunkan 1 saja.
Sehingga, semua bilangan telah bersisa 1.
KPK-nya adalah dengan mengalikan semua faktor pembagi yang menyebabkan ketiga bilangan itu menjadi bersisa satu, yaitu pada gambar kakak beri lingkaran warna merah, yaitu 2 x 2 x 2 x 3 = 24.
Nah, sangat gampang bukan. Sekarang coba kalian berlatih dengan mencari KPK dari 4, 12, dan 24, tentunya dengan cara seperti diatas.
Selamat mencoba ...
Logaritma Kelas 10
Nah, pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan sifat logaritma yang pertama, dari lebih kurang sembilan sifat yang ada. Sebelumnya mari kita lihat dulu bentuk umum untuk logaritma, yaitu:
dimana :
a = bilangan pokok atau basis dari logaritma,
y = numerus.
Sekarang, mari kita mulai dengan sifat yang pertama ( I )
ingat :
a > 0, b > 0, c > 0, dan
a tidak sama dengan 1
Contoh penggunaannya di dalam soal :
Nah gampang bukan...
Untuk membuktikan sifat itu benar, maka harus dicari hasil logaritma masing-masing ruas, yaitu ruas kiri dan ruas kanan. Dimana ruas pada kiri dicari hasil logaritma 16 dan pada ruas kanan dicari hasil logartima 4, sebagai berikut:
Jadi, sekarang kita telah menguasai sifat trigonometri yang pertama. Untuk sifat selanjutnya akan saya bahas pada posting berikutnya. Selamat belajar... !!
dimana :
a = bilangan pokok atau basis dari logaritma,
y = numerus.
Sekarang, mari kita mulai dengan sifat yang pertama ( I )
a > 0, b > 0, c > 0, dan
a tidak sama dengan 1
Contoh penggunaannya di dalam soal :
Nah gampang bukan...
Untuk membuktikan sifat itu benar, maka harus dicari hasil logaritma masing-masing ruas, yaitu ruas kiri dan ruas kanan. Dimana ruas pada kiri dicari hasil logaritma 16 dan pada ruas kanan dicari hasil logartima 4, sebagai berikut:
Jadi, sekarang kita telah menguasai sifat trigonometri yang pertama. Untuk sifat selanjutnya akan saya bahas pada posting berikutnya. Selamat belajar... !!
